Math'φsics

Menu
  • Acceuil
  • Maths
  • Physique
    • Maths
    • Physique
  • Electromagnétisme à régimes variables

    Formulaire de report

    Le régime variable correspond aux formes finales des Equations de Maxwell. Ce sont les équations du Magnétostatisme et de l'Electrostatisme avec l'ajout de la dépendence temporelle.

    Induction électromagnétique

    Le phénomène d'induction électromatique apparaît dans un circuit en mouvement situé dans un champ magnétique constant ou alors dans un circuit fixe situé dans un champ magnétique variable.
    Loi de Faraday
    Loi de Lenz

    Relation de Maxwell-Faraday

    Equations de Maxwell On s'intéresse au cas des régimes variables dans le temps.
    $$\vec{rot}(\vec E)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
    $$\implies \vec E={{-\frac{\partial \vec A}{\partial t}-\vec{grad}(V)}}$$
    Avec:
    • \(\vec A\): potentiel magnétique
    • \(V\): potentiel global

    :
    Démonstration de la relation de Maxwell-Faraday
    1
    On sait que $${\subset\!\supset} \llap{\iint}_S\vec B.d\vec S=0$$
    Cela implique, par Théorème d'Ostrogradsky - de la divergence, que:
    $$div(\vec B)=0$$
    Alors:
    $$\vec B=\vec {rot}(\vec A)$$
    Avec \(\vec A\), un potentiel vecteur
    2
    $$\vec {rot}(\vec E)=\frac{\partial B}{\partial t}=\frac{\partial (\vec{rot}(\vec A))}{\partial t}$$
    2i
    $$\vec{rot}(\vec{E}+\frac{\partial \vec A}{\partial t} )=0$$
    Alors, il existe un potentiel \(V_G\) scalaire:
    Donc:
    $$\vec E=-\vec{grad}(V_G)-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$$

    Applications

    • Auto-induction d'une bobine
    • Induction mutuelle
    • Générateurs électromagnétiques
    • Courants de Foucault


    Paradoxe de Maxwell


    D'aprés le Théorème d'Ampère, le champ \(\vec B\) peut être:
    • \(\vec B = \mu_0I(t)\) pour (\(C_2\))
    • \(\vec B = \vec 0\) pour (\(C_1\))

    Or, d'après le Principe de conservation de la charge à densité constante:
    $$div(\vec j)=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$
    Théorème d'Ampère $$\vec{rot}(\vec B)=\vec j$$
    Par définition:
    $$div(\vec{rot}(\vec B))=div(\vec j)=0$$
    Alors, il introduit: $$\vec j_D=\frac{\partial \vec D}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$
    Avec:
    • \(\vec j_D\): le courant de déplacement
    • \(\vec D\): Induction magnétique

    Finalement:
    $$\vec j= \vec j_{Courant}+\vec j_D$$
    Il corrige alors l'équation l'équation \(\vec rot(\vec B)=\mu_0 \vec j\):
    Equations de Maxwell

    Energie électromagnétique


    Densité volumique d'énergie électromagnétique

    Cette densité est la somme des densités dû à l'Electrostatisme et au Magnétostatisme.
    $$e_{em}={{\frac 12 (\vec E.\vec D+\vec B.\vec H)}}$$
    Avec:
    • \(\vec D\): Induction électrique
    • \(\vec H\): Induction magnétique


  • Rétroliens :
    • Jauge de Coulomb
    • Jauge de Lorenz
    • Transformation de jauge